斐波那契数列的通项公式是： F_n=F_{n-1}+F_{n-2}，其中 F_1=F_2=1。
这个公式的推导过程有很多种，其中一种是通过特征方程/特征根法、生成函数/母函数法、矩阵对角化法等等方法进行推导。但是这些方法需要很多其他知识的铺垫，理解起来不是很清晰。现在我们从零开始推导一下它的通项公式，便于大家记忆（zhuang）：
二阶递推化为一阶递推。首先， a_n=a_{n-1}+a_{n-2}（式1）。
构造等差数列 a_n=a_{n-1}+d和等比数列 a_n=qa_{n-1}（式2）。
由式1和式2可知， a_n=qa_{n-1}+(q-1)a_{n-2}+(q-1)^2a_{n-3}+cdots +q^na_1+q^{n-1}a_0。
对于任意正整数k，有 a_k=q^ka_{k-1}+(q-1)^k(a_{k-2}+a_{k-3}+cdots +a_1+a_0)。
令 c_k=q^k，则有 a_k=c_ka_{k-1}+(c_k-1)(a_{k-2}+a_{k-3}+cdots +a_1+a_0)。
由归纳假设可得：当 nge k+1时，有 a_n=c_n(a_{n-1}+a_{n-2})+(c_n-1)(a_{n-3}+cdots +a_1+a_0)。
将式6代入式5中，得： a_n=(c_n-1)(a_{n-1}+a_{n-2})+(c_n-1)^2(a_{n-3}+cdots +a_1+a_0)+ cdots +(c_nk)(a_{k-1}+a_{k-2})+c_n^ka_0。
当 nge k+1时，有 a_n=f(a_{n-1},a_{n-2}, cdots , a_1, a_0)，其中 f(x_0,x_1,cdots ,x_{n-2},x_{n-1})为一个关于 x_0,x_1,cdots ,x_{n-2},x_{n-1}的多项式。
