曲线的变分是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。
曲线的变分最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
曲线的变分起源于一些具体的物理学问题，最终由数学家研究解决。
曲线的变分的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。
它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它分辨不出找到的是最大值还是最小值（或者两者都不是）。
曲线的变分在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。
曲线的变分提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。
曲线的变分也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
简单地说，变分就是泛函的“微分”，详细如下：
1. 先做个多元函数和泛函类比：
对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)而言，它的自变量为一个n维数组(x1,x2,...,xn)；
而对于泛函F=F(y)而言，形象地说，它的自变量可以对应一条函数曲线y=y(x)，因为曲线上有无穷多个点，而每个点的y坐标就是泛函的一个自变量，那么曲线上无穷多个点，就对应了无穷多个自变量，而泛函F就是这无穷多个自变量的函数。
2. 对于多元函数而言，它有全微分df=∂f/∂x1*dx1+∂f/∂x2*dx2+...+∂f/∂xn*dxn，也就是每个自变量发生微小变化时函数值的变化。
3. 而对于泛函F而言，它的全微分就是变分，就是曲线上每个点的y坐标发生微小变化时，整个泛函的函数值发生的变化。
