弧长公式推导:
设扇形弧长为L,半径为R,扇形圆心角为n度。
依据垂径定理,1度的圆心角所对的弧长为2兀R/360,即兀R/180,则n度的圆心角所对的弧长为:
L=n兀R/180。①
扇形面积公式推导:
1度的圆心角所对的扇形面积为:兀R^2/360,n度的圆心角所对的扇形面积为:
s=n兀R^2/360。②
①②结合,又能得到扇形面积为:
s=RL/2。
解:对于扇形,设一个扇形的圆心角
为n°,设其半径为r,
设其弧长为l,
先考察它的弧长l与其所在的圆的周长c的关系。
圆周
所对的圆心角为360°,圆周
的长为
2πr,
扇形弧长
l=(360°/
n°)×(2πr)。
∴(1/2)l
=
(360°/
n°)×(πr)
圆的面积
为s=πr2,
扇形面积
则为(360°/
n°)×πr2=
(360°/
n°
×
πr)
×
r
=
(1/2)l
×
r
本题的关键是:扇形的弧长
=
圆周长
的(360°/
n°)倍;
扇形的面积
=
圆面积的(360°/
n°)倍;
原因是圆周
所对的圆心角为360°,扇形所对的圆心角是n°。
周长
与
弧长的比为
360°
:
n°
圆面积
与
扇形面积的比为
360°
:
n°
另一种思路是:将弧长l无限细分为n等份,将扇形也分为n等份这时每一份扇形的弧可看为直线,
这每一份扇形可看为三角形
,这每一份扇形面积为1/2×底(l/n)×高(即半径r),由于有n等份,则大扇形面积为1/2×底(l/n)×高(即半径r)×n=(1/2)l
×
r