扇形的弧长公式和面积公式的推导(扇形面积公式和弧长公式)

扇形的弧长公式和面积公式的推导(扇形面积公式和弧长公式)

首页维修大全综合更新时间:2024-08-05 22:00:48

扇形的弧长公式和面积公式的推导

弧长公式推导:

设扇形弧长为L,半径为R,扇形圆心角为n度。

依据垂径定理,1度的圆心角所对的弧长为2兀R/360,即兀R/180,则n度的圆心角所对的弧长为:

L=n兀R/180。①

扇形面积公式推导:

1度的圆心角所对的扇形面积为:兀R^2/360,n度的圆心角所对的扇形面积为:

s=n兀R^2/360。②

①②结合,又能得到扇形面积为:

s=RL/2。

解:对于扇形,设一个扇形的圆心角

 为n°,设其半径为r,

设其弧长为l,

先考察它的弧长l与其所在的圆的周长c的关系。

圆周

所对的圆心角为360°,圆周

的长为

2πr,

扇形弧长

 l=(360°/

n°)×(2πr)。

∴(1/2)l

=

(360°/

n°)×(πr)

圆的面积

 为s=πr2,

扇形面积

 则为(360°/

n°)×πr2=

(360°/

×

πr)

×

r

=

(1/2)l

×

r

本题的关键是:扇形的弧长

=

圆周长

 的(360°/

n°)倍;

扇形的面积

=

圆面积的(360°/

n°)倍;

原因是圆周

所对的圆心角为360°,扇形所对的圆心角是n°。

周长

弧长的比为

360°

圆面积

扇形面积的比为

360°

另一种思路是:将弧长l无限细分为n等份,将扇形也分为n等份这时每一份扇形的弧可看为直线,

这每一份扇形可看为三角形

 ,这每一份扇形面积为1/2×底(l/n)×高(即半径r),由于有n等份,则大扇形面积为1/2×底(l/n)×高(即半径r)×n=(1/2)l

×

r

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