函数图像伸缩变换规律(正弦型函数图像的平移和伸缩变换)

函数图像伸缩变换规律(正弦型函数图像的平移和伸缩变换)

首页维修大全综合更新时间:2024-08-16 08:19:44

函数图像伸缩变换规律

有以下规律:首先,当函数的系数大于1时,函数会在x轴方向上水平收缩,当函数的系数小于1时,函数会在x轴方向上水平伸展;其次,当函数的系数大于1时,函数会在y轴方向上垂直拉伸,当函数的系数小于1时,函数会在y轴方向上垂直压缩。

这个规律是由函数的一般式f(kx)和f(x/k)可以看出来的。

此外,函数的平移也会对函数的伸缩变换产生影响,一般来说,当函数先进行平移后再进行伸缩变换时,结果与先进行伸缩变换再进行平移的结果不同,因此需要注意先后顺序。

总的来说,函数的伸缩变换规律是多方面的,需要具体情况具体分析。

1,平移变换

特点:函数的外形大小未发生改变,只是位置发生了改变

口诀:左加右减,上加下减

公式:

① y=f(x+m),m>0,是由y=f(x)的图像向左平移m个单位而得到

② y= f(x-m),m>0,是由y=f(x)的图像向右平移m个单位而得到

如下图所示左右平移变换:

③ y=f(x)+n,n>0,是由y=f(x)的图像向上平移n个单位而得到

④ y=f(x)-n,n>0,是由y=f(x)的图像向下平移n个单位而得到

如下图所示上下平移变换:

例题1. 已知f(x)=x2+7,将f(x)图像向左平移3个单位,求平移之后的函数表达式

解:

由于函数f(x)向左平移3个单位,即将x换成x+3

即平移之后的函数表达式为:

f(x)=(x+3)2+7,整理得:

f(x)=x2+6x+16

例题2. 已知函数f(x)=3-2x,将f(x)图像向右平移5个单位,求平移之后的函数表达式

解:

由于函数f(x)向右平移5个单位,即将x换成x-5

即平移之后的函数表达式为:

f(x)=3-2(x-5)

=3-2x+10

备注:当x前面的系数不为1时,进行左右平移时,需要先将系数提出来之后,再按照左右平移的口诀进行平移。

例题3. 已知函数f(x)=3x,将f(x)图像向上平移1个单位,求平移之后的函数表达式

解:

由于函数f(x)向上平移1个单位,即将f(x)换成f(x)+1

即平移之后的函数表达式为:

f(x)=3x+1

2,伸缩变换

特点:函数的外形发生了倍数级的伸缩改变

公式:

① 函数y=f(mx),(m>1)的图像是将y=f(x)的图像上各点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的1/m倍。

② 函数y=f(mx),(0<m<1)的图像是将y=f(x)的图像上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的1/m倍。

如下图所示横坐标伸缩变换:

③ 函数y=mf(x),(m>1)的图像是将y=f(x)的图像上各点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的m倍。

④ 函数y=mf(x),(0<m<1)的图像是将y=f(x)的图像上各点的横坐标不变,纵坐标缩小到原来的m倍。

如下图所示纵坐标伸缩变换:

例题1. 已知函数f(x)=sin(2x+1),将f(x)的纵坐标保持不变,横坐标缩小为原来的1/2倍,求伸缩变换之后的函数表达式

解:

由于函数f(x) 纵坐标保持不变,横坐标缩小为原来的1/2倍,即将x换成2x

即平移之后的函数表达式为:

f(x)=sin[2(2x)+1]

    =sin(4x+1)

例题2. 已知函数f(x)=lnx,将y=f(x)的图像上各点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的3倍,求伸缩变换之后的函数表达式

解:

由于函数f(x) 的横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的3倍

即将f(x)换成3f(x)

即平移之后的函数表达式为:

f(x)=3lnx

3,平移+伸缩变换组合

例题1. 已知f(x)=cos(-2x+3),将f(x)的图像先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,再将横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,最后将纵坐标保持不变,横坐标缩小为原来的1/3倍,求平移和伸缩变换之后的函数表达式

解:

①向左平移1个单位,

将x换成x+1,可得:

f(x)=cos[-2(x+1)+3],整理得:

f(x)=cos(-2x+1)

②向下平移3个单位,

将f(x)换成f(x)-3,可得:

f(x)=cos(-2x+1)-3

③横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,

将f(x)换成2f(x),可得:

f(x)=2cos(-2x+1)-6

④纵坐标保持不变,横坐标缩小为原来的1/3倍,

将x换成3x,可得:

f(x)=2cos[-2(3x)+1]-6整理得:

f(x)=2cos(-6x+1)-6

综上,经过平移和伸缩变换之后的函数表达式为:f(x)=2cos(-6x+1)-6

例题2:函数f(x)=lnx,经过怎样的平移和伸缩变换可得f(x)=2ln(3x+6)+2

解:

f(x)=lnx有两种方法经过平移和伸缩变换均可得到题目所求函数表达式

方法1:

①f(x)=lnx,将纵坐标不变,横坐标缩小为原来的1/3,可得:

f(x)=ln3x

②将f(x)=ln3x,向左平移2个单位,可得:

f(x)=ln[3(x+2)],整理得:

f(x)=ln(3x+6)

③将f(x)=ln(3x+6),横坐标不变,纵坐标扩大为原来的2倍,可得:

f(x)=2ln(3x+6)

④将f(x)=2ln(3x+6),向上平移2个单位,可得:

f(x)=2ln(3x+6)+2

方法2:

①f(x)=lnx,向左平移6个单位,可得:

f(x)=ln(x+6)

②将f(x)=ln(x+6),将纵坐标不变,横坐标缩小为原来的1/3,可得:

f(x)=ln[3x+6)]

③将f(x)=ln(3x+6),横坐标不变,纵坐标扩大为原来的2倍,可得:

f(x)=2ln(3x+6)

④将f(x)=2ln(3x+6),向上平移2个单位,可得:

f(x)=2ln(3x+6)+2

备注:要特别注意理解方法1跟2在平移跟伸缩变换中①②这两步的差异。

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