曲率半径的公式是怎么推导的(曲率公式是怎么推导出来的)

曲率半径的公式是怎么推导的(曲率公式是怎么推导出来的)

首页维修大全综合更新时间:2024-09-03 05:04:28

曲率半径的公式是怎么推导的

曲率半径的公式为κ=lim|Δα/Δs|。 ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)]/y"|,证明如下: 1、曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆(Osculating circle)的半径。密切圆可能是与曲线在该点相内切的圆中半径最大的(比如在椭圆长轴顶点

曲率半径是描述曲线曲率大小的物理量,其公式推导如下:

设曲线上某一点为P,其切线方向为T,曲线在P点的曲率为k,曲率半径为r。

曲率k的定义为:在曲线上取一点Q,以PQ为半径做圆,该圆与曲线在P点处相切,那么该圆的半径r就是曲率k。

根据圆的性质,曲线在P点的切线与圆的切线重合,即T垂直于PQ。设曲线在P点处的参数方程为y=f(x),则PQ的长度为:

PQ = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

= sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx

其中,dx为曲线在x点处的微小位移,dy/dx为曲线在x点处的斜率。

根据圆的面积公式,圆的面积为πr^2,又因为PQ为圆的直径,所以圆的面积也可以表示为:

πr^2 = PQ * 2r = 2πrkdx

将PQ的表达式代入上式,得到:

r = (1 + (dy/dx)^2)^(3/2) / |d^2y/dx^2|

即曲率半径r的公式推导完成。

注意:以上推导过程仅适用于平面曲线,对于空间曲线需要使用不同的公式进行计算。

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