欧几里得《几何原本》中提出了一种证明无理数的经典方法：
证明: √2是无理数
假设√2不是无理数
∴√2是有理数
令 √2=p/q (p、q互质)
两边平方得：
2=(p/q)^2
即：
2=p^2/q^2
通过移项，得到：
2*q^2=p^2
∴p^2必为偶数
∴p必为偶数
令p=2m
则p^2=4m²
∴2q^2=4m^2
化简得：
q^2=2m^2
∴q^2必为偶数
∴q必为偶数
综上，q和p都是偶数
∴q、p互质，且q、p为偶数
矛盾 原假设不成立
∴√2为无理数 证明是无理数（整数n>=2）a,b互素
假设则存在
则a为偶数，设a=2t, t为自然数 代人上式有
则b同样是偶数，与条件（a，b）为互素的最小整数是相互矛盾的
那么假设是不成立的
则
成立，那么必为无理数。 条件（整数n>2）a,b互素，p,q互素,则有
成立。
以下是证明：
假设
则：(p^n+q^n)b^n=a^n q^n
（1） p^nb^n=q^n(a^n -b^n)
由于p,q互素那么q必为b的因子
设b=qt代人（1）式
p^n +q^n=(a/t)^n
如果t>=2,则，t必为a的因子，与a b互素相矛盾，所以t必须等于1
则：
（2）p^n +q^n=a^n
如果（2）依然成立则有
要使得a-q为整数，至少a-q的小数部分为有理数，而a-q的展开式是无限级数，那么只有一个条件下a-q才可能是有理数，就是级数的系数的绝对值相等，由此只有n趋近无穷大时才会出现此种情况如下：
使a-q是-（p/q）^n的等比数列之和，要求是系数的绝对值相等，上式就是极限状态也不存在系数的绝对值相等
所以在有限整数n>2 的条件下a-q不可能是有限的或无限循环的，那么它只能是无理数，所以a也只能是无理数，据此与条件假设a为整数相矛盾，故此假设不成立
整数n>2时，对于互素的p,q，（q>p）没有整数a使得（3）等式成立
（3）
那么必然使得下式（4）成立
（4）
拓展2证明完毕
