光滑曲线的弧长计算公式是通过将曲线分割为无限小的线段，并对每个线段的长度进行积分求和得到的。
具体来说，假设曲线的参数方程为y=f(x)，则先将其拆分为dx和dy两个方向的微小线段，再使用勾股定理求出每个微小线段的长度ds，最后对所有微小线段的长度进行积分求和，即得到曲线的弧长L。公式为L = ∫√(dx2+dy2)。
要推导出光滑曲线的弧长计算公式，首先需要了解光滑曲线的参数方程表示形式。假设光滑曲线C的参数方程为：
x = f(t)
y = g(t)
其中t是参数，f(t)和g(t)是t的函数，描述了曲线上点的x和y坐标。
接下来，我们将曲线分割为一系列小线段，每个小线段的起点为(t_i, f(t_i), g(t_i))，终点为(t_{i+1}, f(t_{i+1}), g(t_{i+1))。
根据两点之间的距离公式，可以计算出每个小线段的长度：
L_i = sqrt((f(t_{i+1}) - f(t_i))^2 + (g(t_{i+1}) - g(t_i))^2)
然后，我们将所有小线段的长度相加，得到整条曲线的近似弧长：
S ≈ ∑ L_i
当我们让小线段的数目趋近于无穷大时，近似弧长就会趋近于实际弧长。因此，我们可以用极限的方式来定义曲线的弧长。
令 Δt = t_{i+1} - t_i，表示每个小线段的t值的增量。当Δt趋近于0时，即小线段趋近于变为曲线上的一点，我们可以得到如下极限公式：
S = lim(Δt→0) ∑ L_i
现在，我们需要将每个小线段的长度用Δt表示。利用泰勒展开可以得到：
f(t_{i+1}) ≈ f(t_i) + f'(t_i)Δt + frac{{f''(t_i)}}{{2!}}Δt^2 + ...
g(t_{i+1}) ≈ g(t_i) + g'(t_i)Δt + frac{{g''(t_i)}}{{2!}}Δt^2 + ...
其中f'(t_i)和g'(t_i)是f(t)和g(t)的一阶导数，f''(t_i)和g''(t_i)是f(t)和g(t)的二阶导数。
忽略高阶项，我们可以得到每个小线段的长度的近似表达式：
L_i ≈ sqrt((f'(t_i))^2 + (g'(t_i))^2)Δt
将这个近似表达式代入到整条曲线的近似弧长公式中，有：
S ≈ lim(Δt→0) ∑ sqrt((f'(t_i))^2 + (g'(t_i))^2)Δt
接下来，我们将近似弧长公式转化为定积分形式。将求和符号换成积分符号，有：
S = ∫sqrt((f'(t))^2 + (g'(t))^2) dt
这就是光滑曲线的弧长计算公式。
需要注意的是，如果曲线的参数方程已知且可导，那么公式可以直接使用。然而，对于一些复杂的曲线，求解其参数方程和导数可能比较困难。这种情况下，我们可以尝试使用数值方法或者近似方法来计算曲线的弧长。
