柯西中值定理例题（柯西中值定理证明方法例题）

柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它的表述如下：

如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且g'(x)≠0在(a, b)上恒成立，那么存在ξ∈(a, b)，使得

f(b) - f(a) = g'(ξ)(b - a)

下面是一个应用柯西中值定理的例题：

例题：求证当0 < x < 1时，sinx < x。

证明：令函数f(x) = sinx - x，显然f(x)在[0, 1]上连续，且在(0, 1)上可导。我们需要证明f'(x) < 0在(0, 1)上恒成立。

计算f'(x) = cosx - 1，由于cosx ≤ 1，所以f'(x) ≤ 0，即f'(x) < 0在(0, 1)上恒成立。

根据柯西中值定理，存在ξ∈(0, 1)，使得

f(1) - f(0) = f'(ξ)(1 - 0)

即sin1 - 0 = (cosξ - 1)(1 - 0)

由于sin1 < 1，所以cosξ > 0。又因为cosξ - 1 < 0，所以sin1 - 0 < 0，即sinx < x。