托勒密证明过程:圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。
设ABCD为圆内接四边形,则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积,即AC·BD=AB·CD+AD·BC。
托勒密定理是指：在一个四边形中，对角线互相垂直的充要条件是：其对边互相乘积之和等于两条对角线乘积之和。
证明过程如下：
设四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直，交于点E。
则有：
AE × EC + BE × ED = AC × BD
连接AB、BC、CD、DA四条边，
由于AE × EC = AB × BE - EB × AE，ED × DC = CD × CE - EC × ED，
所以：AE × EC + BE × ED = AB × BE + CD × CE
由于角AED和角CEB互相垂直，所以角AEC和角BED互相补角。
又由于角AEC和角BED互相补角，所以它们的正弦值相等。
即：sin AEC = sin BED
所以：AE / BD = sin BED / sin AEC
同理可得：EC / BD = sin AED / sin BEC
因此：AE × EC / BD² = sin AED / sin BED
代入正弦定理中可得：
sin AED / AD = sin BED / BC
因此：AD / BC = BD / AC
即：AD × AC = BD × BC + CD × AB
这就证明了托勒密定理。
