初一数学平方公式(初一数学完全平方公式计算题)

初一数学平方公式(初一数学完全平方公式计算题)

首页维修大全综合更新时间:2024-04-02 20:31:29

初一数学平方公式

答:初一数学平方公式有两个。

1,平方差公式:a^2一b^2=(a+b)(a一b)。

2,和差的额全平方公式:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。(a一b)^2=a^2一2ab+b^2。请观察后两公式可何规律。

一、我们先来研究一下完全平方公式的几个关键变式:

(a+b)²=a²+2ab+b².

(a-b)²=a²-2ab +b².

(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²).

(a+b)²- (a-b)²=4ab.

这四个公式中包含了:a+b,a-b,a²+b²,ab. 只要知道其中的任意两个式子,就可以求出另外两个式子.

二、完全平方公式还有个非负性:

(a+b)²≥0,

(a-b)² ≥0.

如果(x+b)²+(y-c)² =0,那么x=-b,y=c.

三、用配方法配出完全平方公式如:a²+6a+10=a²+2×3a+3²-3²+10

=( a²+2×3a+3²)-3²+10

= (a+3)² +1.

四、例题

例1 已知(a+b)²=7,(a-b)²=3,求a²+ab +b²的值.

【分析】结论中的a²+ab +b²,与完全平方公式还有一点区别,如果直接用公式,无法实现. 观察这个式子的特点发现,式子里蕴含了a²+b²,ab两个式子,我们分开求这两个式子,题目就变得简单了.

解:∵(a+b)²=7,(a-b)²=3,

(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²),

∴7+3=2(a²+b²),

∴a²+b²=5.

∵(a+b)²- (a-b)²=4ab,

∴7-3=4ab,

∴ab=1.

∴a²+b²+ab=6.

例2 已知:m+n=3,mn=2,求m²+n²,(m-n)²的值.

【分析】m²+n²与m+n,mn之间的关系,可以用公式(m+n)²=m²+n²+2mn建立;(m-n)²可以用公式:(m-n)²= m²+n²-2mn求得,也可以用公式:(m+n)²- (m-n)²=4mn求得.

解:∵m+n=3,mn=2,

(m+n)²=m²+n²+2mn,

∴3²=m²+n²+2×2,

∴m²+n²=5.

∴(m-n)²= m²+n²-2mn

=5-2×2=1.

【分析】此时要通过条件,求出a+b和a-b,观察条件的特点,我们发现,可以使用公式(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab +b²分别求出a+b和a-b.

解:∵a<b<0,< span=>

∴ab>0.

∴(a+b)²= a²+b²+2ab=6ab+2ab=8ab,

(a-b)²=a² +b²-2ab=6ab-2ab=4ab.

例4 已知x²+y²-4x+8y+20=0,求x+y的值.

【分析】看到此题,第一反应往往是想通过对那一长串式子进行变形,变化出x+y. 但是,通过多次尝试,一般是不能实现的. 这个时候,我们还可以考虑分别求出x和y,然后再求x+y. 像这种一个式子里同时含有两个字母,而且每个字母都有平方的情况,我们考虑用完全平方公式对它进行变化. 常用的方法就是“配方法”,把完全平方公式配出来.

解:x²+y²-4x+8y+20

=x²-4x+2²-2²+y²+8y+4²-4²+20

= x²-4x+2²+y²+8y+4²

=(x-2)²+(y+4)²

∴条件可以变化为:

(x-2)²+(y+4)².

∴(x-2)²+(y+4)²=0.

∵(x-2)²≥ 0, (y+4)²≥0,而它们相加为0,

∴只能有(x-2)² =0, (y+4)²=0.

∴x=2,y=-4,

∴x+y=-2.

例5 求证:无论x为何实数,代数式x²-4x+5的值恒大于零.

【分析】观察这个式子,x²-4x+5里存在着完全平方公式,或者说,我们可以用“配方法”给这个式子配出完全平方公式.

证明:x²-4x+5

= x²-4x+2²-2²+5

= (x²-4x+2²)-2²+5

=(x-2)²+1.

∵(x-2)²≥0,

∴(x-2)²+1>0.

∴无论x为何实数,代数式x²-4x+5的值恒大于零.

例6 计算:503².

【分析】此题如果直接计算,计算量比较大,我们可以考虑使用完全平方公式.

解:503²=(500+3)²

=500²+2×500×3+3²

=250000+3000+9

=253009.

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