垂径定理定义讲解（垂径定理三种表述方法）

垂径定理的定义是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如图，直径MN垂直于弦AB，则AC=CB，弧AN等于弧BN（包括优弧与劣弧），半圆MAN=半圆MBN。

意思就是与弦垂直的直径将弦一分为二且是相等的二线段。

垂径定理是指：在一个圆中，如果两条交于圆心的直径分别垂直于一条弦，那么这条弦就平分这两条直径的差。

具体来说，设 $AB$ 和 $CD$ 是圆 $O$ 的直径，$E$ 是弦 $AC$ 上的一个点，$F$ 是弦 $BD$ 上的一个点，且 $angle AOE = angle DOF = 90^circ$，则有 $AE+CF=BE+DF$。

证明：由于 $angle AOE = angle DOF = 90^circ$，所以 $OA=OD$，$OE=OF$，故 $AE+CF=AC+CE+BD+DF=AD+BC=2OA=2OD=BE+DF$。

因此，弦 $AC$ 平分了直径 $AB$ 和 $CD$ 的差，即满足垂径定理。