一般三次方程的求根公式(一元三次方程求根公式及推导)

一般三次方程的求根公式(一元三次方程求根公式及推导)

首页维修大全综合更新时间:2024-05-15 21:42:08

一般三次方程的求根公式

一、方程形式:

aX^3+bX^2+cX+d=0 (a≠0).

二、参数计算:

m=b^2-3ac,

n=4.5a(bc-3ad)-b^3.

三、求根公式:

1、m^3≥n^2:

X(1,2,3)=[-b-2(√m)sin(1/3)(2kπ+arcsinE)]/(3a).

其中:k=0、±1,E=n/(m√m).

2、m^3≤n^2:

X(1,2,3)=[-b+ωA^(1/3)+ω^2*B^(1/3)]/(3a).

其中:ω是Y^3=1的三个根,

A、B是Y^2-2nY+m^3=0的二个根.

ax^3+bx^2+cx+d的标准型 
化成 
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0 
可以写成 
x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0 

其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a 令y=x-a1/3 
则y^3+px+q=0 
其中p=-(a1^2/3)+a2 
q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3
2)用1、方程x^3=1的解为

x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2 
2、

方程x^3=A的解为x1=A(1/3),x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^2 
3、

一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高项,变成x^3+px+q=0的形式。 
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解,代入整理得: 
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ① 
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立,由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程 
y^2+qy-p^3/27=0的两个根。 


解之得,y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2) 
不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2) 
则u^3=A,v^3=B 


u= A(1/3)或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2 
v= B(1/3)或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2 
但是考虑到uv=-p/3,所以u、v只有三组解: 

u1= A(1/3),v1= B(1/3) 
u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2 
u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω 
那么方程x^3+px+q=0的三个根也出来了,即 
x1=u1+v1= A(1/3)+B(1/3) 
x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2 
x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω 
这正是著名的卡尔丹公式。你直接套用就可以求解了。 

△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式。 
当△>=0时,有一个实根和两个共轭复根; 
当△<0时,有三个实根。 
根与系数关系是:设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)的三根为x1,x2,x3, 
则x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.

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